转置卷积

到目前为止，我们所见到的卷积神经网络层，例如卷积层和汇聚层，通常会减少下采样输入图像的空间维度（高和宽）。然而如果输入和输出图像的空间维度相同，在以像素级分类的语义分割中将会很方便。例如，输出像素所处的通道维可以保有输入像素在同一位置上的分类结果。

为了实现这一点，尤其是在空间维度被卷积神经网络层缩小后，我们可以使用另一种类型的卷积神经网络层，它可以增加上采样中间层特征图的空间维度。本节将介绍转置卷积（transposed convolution） Dumoulin.Visin.2016，用于逆转下采样导致的空间尺寸减小。

#@tab pytorch
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

基本操作

让我们暂时忽略通道，从基本的转置卷积开始，设步幅为1且没有填充。假设我们有一个 $n_h \times n_w$ 的输入张量和一个 $k_h \times k_w$ 的卷积核。以步幅为1滑动卷积核窗口，每行 $n_w$ 次，每列 $n_h$ 次，共产生 $n_h n_w$ 个中间结果。每个中间结果都是一个 $(n_h + k_h - 1) \times (n_w + k_w - 1)$ 的张量，初始化为0。为了计算每个中间张量，输入张量中的每个元素都要乘以卷积核，从而使所得的 $k_h \times k_w$ 张量替换中间张量的一部分。请注意，每个中间张量被替换部分的位置与输入张量中元素的位置相对应。最后，所有中间结果相加以获得最终结果。

例如，图13.10.1 解释了如何为 $2\times 2$ 的输入张量计算卷积核为 $2\times 2$ 的转置卷积。

2\times 2 的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。 "> 图13.10.1 卷积核为 2x2 的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。

我们可以对输入矩阵X和卷积核矩阵K(实现基本的转置卷积运算)trans_conv。

#@tab all
def trans_conv(X, K):
    h, w = K.shape
    Y = d2l.zeros((X.shape[0] + h - 1, X.shape[1] + w - 1))
    for i in range(X.shape[0]):
        for j in range(X.shape[1]):
            Y[i: i + h, j: j + w] += X[i, j] * K
    return Y

与通过卷积核“减少”输入元素的常规卷积相比，转置卷积通过卷积核“广播”输入元素，从而产生大于输入的输出。我们可以通过图13.10.1来构建输入张量X和卷积核张量K从而[验证上述实现输出]。此实现是基本的二维转置卷积运算。

#@tab all
X = d2l.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
K = d2l.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
trans_conv(X, K)

# tensor([[ 0.,  0.,  1.],
        # [ 0.,  4.,  6.],
        # [ 4., 12.,  9.]])

或者，当输入X和卷积核K都是四维张量时，我们可以[使用高级API获得相同的结果]。

#@tab pytorch
X, K = X.reshape(1, 1, 2, 2), K.reshape(1, 1, 2, 2)
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)

# tensor([[[[ 0.,  0.,  1.],
        #   [ 0.,  4.,  6.],
        #   [ 4., 12.,  9.]]]], grad_fn=<ConvolutionBackward0>)

[填充、步幅和多通道]

与常规卷积不同，在转置卷积中，填充被应用于的输出（常规卷积将填充应用于输入）。例如，当将高和宽两侧的填充数指定为1时，转置卷积的输出中将删除第一和最后的行与列。

#@tab pytorch
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, padding=1, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)

# tensor([[[[4.]]]], grad_fn=<ConvolutionBackward0>)

在转置卷积中，步幅被指定为中间结果（输出），而不是输入。使用图13.10.1`中相同输入和卷积核张量，将步幅从1更改为2会增加中间张量的高和权重，因此输出张量在图13.10.2中。

2\times 2，步幅为2的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。"> 图13.10.2 卷积核为·2x2 步幅为2的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。

以下代码可以验证图13.10.2中步幅为2的转置卷积的输出。

#@tab pytorch
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, stride=2, bias=False)
tconv.weight.data = K
tconv(X)

# tensor([[[[0., 0., 0., 1.],
#           [0., 0., 2., 3.],
#           [0., 2., 0., 3.],
#           [4., 6., 6., 9.]]]], grad_fn=<ConvolutionBackward0>)

对于多个输入和输出通道，转置卷积与常规卷积以相同方式运作。假设输入有 $c_i$ 个通道，且转置卷积为每个输入通道分配了一个 $k_h\times k_w$ 的卷积核张量。当指定多个输出通道时，每个输出通道将有一个 $c_i\times k_h\times k_w$ 的卷积核。

同样，如果我们将 $\mathsf{X}$ 代入卷积层 $f$ 来输出 $\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})$ ，并创建一个与 $f$ 具有相同的超参数、但输出通道数量是 $\mathsf{X}$ 中通道数的转置卷积层 $g$ ，那么 $g(Y)$ 的形状将与 $\mathsf{X}$ 相同。下面的示例可以解释这一点。

#@tab pytorch
X = torch.rand(size=(1, 10, 16, 16))
conv = nn.Conv2d(10, 20, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv = nn.ConvTranspose2d(20, 10, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv(conv(X)).shape == X.shape

# True

[与矩阵变换的联系]

转置卷积为何以矩阵变换命名呢？让我们首先看看如何使用矩阵乘法来实现卷积。在下面的示例中，我们定义了一个 $3\times 3$ 的输入X和 $2\times 2$ 卷积核K，然后使用corr2d函数计算卷积输出Y。

#@tab mxnet, pytorch
X = d2l.arange(9.0).reshape(3, 3)
K = d2l.tensor([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
Y = d2l.corr2d(X, K)
Y

# tensor([[27., 37.],
        # [57., 67.]])

接下来，我们将卷积核K重写为包含大量0的稀疏权重矩阵W。权重矩阵的形状是（ $4$ ， $9$ ），其中非0元素来自卷积核K。

#@tab mxnet, pytorch
def kernel2matrix(K):
    k, W = d2l.zeros(5), d2l.zeros((4, 9))
    k[:2], k[3:5] = K[0, :], K[1, :]
    W[0, :5], W[1, 1:6], W[2, 3:8], W[3, 4:] = k, k, k, k
    return W

W = kernel2matrix(K)
W

# tensor([[1., 2., 0., 3., 4., 0., 0., 0., 0.],
#         [0., 1., 2., 0., 3., 4., 0., 0., 0.],
#         [0., 0., 0., 1., 2., 0., 3., 4., 0.],
#         [0., 0., 0., 0., 1., 2., 0., 3., 4.]])

逐行连结输入X，获得了一个长度为9的矢量。然后，W的矩阵乘法和向量化的X给出了一个长度为4的向量。重塑它之后，可以获得与上面的原始卷积操作所得相同的结果Y：我们刚刚使用矩阵乘法实现了卷积。

#@tab mxnet, pytorch
Y == d2l.matmul(W, d2l.reshape(X, -1)).reshape(2, 2)

# tensor([[True, True],
        # [True, True]])

同样，我们可以使用矩阵乘法来实现转置卷积。在下面的示例中，我们将上面的常规卷积 $2 \times 2$ 的输出Y作为转置卷积的输入。想要通过矩阵相乘来实现它，我们只需要将权重矩阵W的形状转置为 $(9, 4)$ 。

#@tab mxnet, pytorch
Z = trans_conv(Y, K)
Z == d2l.matmul(W.T, d2l.reshape(Y, -1)).reshape(3, 3)

# tensor([[True, True, True],
        # [True, True, True],
        # [True, True, True]])

抽象来看，给定输入向量 $\mathbf{x}$ 和权重矩阵 $\mathbf{W}$ ，卷积的前向传播函数可以通过将其输入与权重矩阵相乘并输出向量 $\mathbf{y}=\mathbf{W}\mathbf{x}$ 来实现。由于反向传播遵循链式法则和 $\nabla_{\mathbf{x}}\mathbf{y}=\mathbf{W}^\top$ ，卷积的反向传播函数可以通过将其输入与转置的权重矩阵 $\mathbf{W}^\top$ 相乘来实现。因此，转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数：它的正向传播和反向传播函数将输入向量分别与 $\mathbf{W}^\top$ 和 $\mathbf{W}$ 相乘。

小结

与通过卷积核减少输入元素的常规卷积相反，转置卷积通过卷积核广播输入元素，从而产生形状大于输入的输出。
如果我们将 $\mathsf{X}$ 输入卷积层 $f$ 来获得输出 $\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})$ 并创造一个与 $f$ 有相同的超参数、但输出通道数是 $\mathsf{X}$ 中通道数的转置卷积层 $g$ ，那么 $g(Y)$ 的形状将与 $\mathsf{X}$ 相同。
我们可以使用矩阵乘法来实现卷积。转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数。

练习

在上面与矩阵变换的联系中，卷积输入X和转置的卷积输出Z具有相同的形状。他们的数值也相同吗？为什么？
使用矩阵乘法来实现卷积是否有效率？为什么？

转置卷积

datetime:2024/11/01 11:11

author:nzb

转置卷积

基本操作

[填充、步幅和多通道]

[与矩阵变换的联系]

小结

练习

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