datetime:2024/09/04 14:27

author:nzb

本项目源于《动手学深度学习》，添加了一些自己的学习笔记，方便搜索查阅。正版GitHub地址：https://github.com/d2l-ai/d2l-zh

束搜索

在《序列到序列学习(seq2seq)》中，我们逐个预测输出序列， 直到预测序列中出现特定的序列结束词元“<eos>”。 本节将首先介绍贪心搜索（greedy search）策略， 并探讨其存在的问题，然后对比其他替代策略： 穷举搜索（exhaustive search）和束搜索（beam search）。

在正式介绍贪心搜索之前，我们使用与 《序列到序列学习(seq2seq)》中 相同的数学符号定义搜索问题。 在任意时间步$t'$，解码器输出$y_{t'}$的概率取决于 时间步$t'$之前的输出子序列$y_1, \ldots, y_{t'-1}$ 和对输入序列的信息进行编码得到的上下文变量$\mathbf{c}$。 为了量化计算代价，用$\mathcal{Y}$表示输出词表， 其中包含“<eos>”， 所以这个词汇集合的基数$\left|\mathcal{Y}\right|$就是词表的大小。 我们还将输出序列的最大词元数指定为$T'$。 因此，我们的目标是从所有$\mathcal{O}(\left|\mathcal{Y}\right|^{T'})$个 可能的输出序列中寻找理想的输出。 当然，对于所有输出序列，在“<eos>”之后的部分（非本句） 将在实际输出中丢弃。

贪心搜索

首先，让我们看看一个简单的策略：贪心搜索， 该策略已用于《序列到序列学习(seq2seq)》的序列预测。 对于输出序列的每一时间步$t'$， 我们都将基于贪心搜索从$\mathcal{Y}$中找到具有最高条件概率的词元，即：

$y_{t'} = \operatorname*{argmax}_{y \in \mathcal{Y}} P(y \mid y_1, \ldots, y_{t'-1}, \mathbf{c})$

一旦输出序列包含了“<eos>”或者达到其最大长度$T'$，则输出完成。

图9.8.1 在每个时间步，贪心搜索选择具有最高条件概率的词元¶

如 图9.8.1中， 假设输出中有四个词元“A”“B”“C”和“<eos>”。 每个时间步下的四个数字分别表示在该时间步 生成“A”“B”“C”和“<eos>”的条件概率。 在每个时间步，贪心搜索选择具有最高条件概率的词元。 因此，将在图9.8.1中 预测输出序列“A”“B”“C”和“<eos>”。 这个输出序列的条件概率是 $0.5\times0.4\times0.4\times0.6 = 0.048$。

那么贪心搜索存在的问题是什么呢？ 现实中，最优序列（optimal sequence）应该是最大化 $\prod_{t'=1}^{T'} P(y_{t'} \mid y_1, \ldots, y_{t'-1}, \mathbf{c})$ 值的输出序列，这是基于输入序列生成输出序列的条件概率。 然而，贪心搜索无法保证得到最优序列。

图9.8.2 在时间步2，选择具有第二高条件概率的词元“C”（而非最高条件概率的词元）

图9.8.2中的另一个例子阐述了这个问题。 与 图9.8.1不同，在时间步$2$中， 我们选择图9.8.2中的词元“C”， 它具有第二高的条件概率。 由于时间步$3$所基于的时间步$1$和$2$处的输出子序列已从 图9.8.1中的“A”和“B”改变为 图9.8.2中的“A”和“C”， 因此时间步$3$处的每个词元的条件概率也在图9.8.2中改变。 假设我们在时间步$3$选择词元“B”， 于是当前的时间步$4$基于前三个时间步的输出子序列“A”“C”和“B”为条件， 这与 图9.8.1中的“A”“B”和“C”不同。 因此，在图9.8.2中的时间步$4$生成 每个词元的条件概率也不同于 图9.8.1中的条件概率。 结果，图9.8.2中的输出序列 “A”“C”“B”和“<eos>”的条件概率为 $0.5\times0.3 \times0.6\times0.6=0.054$， 这大于 图9.8.1中的贪心搜索的条件概率。 这个例子说明：贪心搜索获得的输出序列 “A”“B”“C”和“<eos>” 不一定是最佳序列。

穷举搜索

如果目标是获得最优序列， 我们可以考虑使用穷举搜索（exhaustive search）： 穷举地列举所有可能的输出序列及其条件概率， 然后计算输出条件概率最高的一个。

虽然我们可以使用穷举搜索来获得最优序列， 但其计算量$\mathcal{O}(\left|\mathcal{Y}\right|^{T'})$可能高的惊人。 例如，当$|\mathcal{Y}|=10000$和$T'=10$时， 我们需要评估$10000^{10} = 10^{40}$序列， 这是一个极大的数，现有的计算机几乎不可能计算它。 然而，贪心搜索的计算量 $\mathcal{O}(\left|\mathcal{Y}\right|T')$ 通它要显著地小于穷举搜索。 例如，当$|\mathcal{Y}|=10000$和$T'=10$时， 我们只需要评估$10000\times10=10^5$个序列。

束搜索

那么该选取哪种序列搜索策略呢？ 如果精度最重要，则显然是穷举搜索。 如果计算成本最重要，则显然是贪心搜索。 而束搜索的实际应用则介于这两个极端之间。

束搜索（beam search）是贪心搜索的一个改进版本。 它有一个超参数，名为束宽（beam size）$k$。 在时间步$1$，我们选择具有最高条件概率的$k$个词元。 这$k$个词元将分别是$k$个候选输出序列的第一个词元。 在随后的每个时间步，基于上一时间步的$k$个候选输出序列， 我们将继续从$k\left|\mathcal{Y}\right|$个可能的选择中 挑出具有最高条件概率的$k$个候选输出序列。

A、$C$、$AB$、$CE$、$ABD$和$CED$"> 图9.8.3 束搜索过程（束宽：2，输出序列的最大长度：3）。候选输出序列是$A$、$C$、$AB$、$CE$、$ABD$和$CED$

图9.8.3 演示了束搜索的过程。 假设输出的词表只包含五个元素： $\mathcal{Y} = \{A, B, C, D, E\}$， 其中有一个是“<eos>”。 设置束宽为$2$，输出序列的最大长度为$3$。 在时间步$1$，假设具有最高条件概率 $P(y_1 \mid \mathbf{c})$的词元是$A$和$C$。 在时间步$2$，我们计算所有$y_2 \in \mathcal{Y}$为：

$\begin{aligned}P(A, y_2 \mid \mathbf{c}) = P(A \mid \mathbf{c})P(y_2 \mid A, \mathbf{c}),\\ P(C, y_2 \mid \mathbf{c}) = P(C \mid \mathbf{c})P(y_2 \mid C, \mathbf{c}),\end{aligned}$

从这十个值中选择最大的两个， 比如$P(A, B \mid \mathbf{c})$和$P(C, E \mid \mathbf{c})$。 然后在时间步$3$，我们计算所有$y_3 \in \mathcal{Y}$为：

$\begin{aligned}P(A, B, y_3 \mid \mathbf{c}) = P(A, B \mid \mathbf{c})P(y_3 \mid A, B, \mathbf{c}),\\P(C, E, y_3 \mid \mathbf{c}) = P(C, E \mid \mathbf{c})P(y_3 \mid C, E, \mathbf{c}),\end{aligned}$

从这十个值中选择最大的两个， 即$P(A, B, D \mid \mathbf{c})$和$P(C, E, D \mid \mathbf{c})$， 我们会得到六个候选输出序列： （1）$A$；（2）$C$；（3）$A,B$；（4）$C,E$；（5）$A,B,D$；（6）$C,E,D$。

最后，基于这六个序列（例如，丢弃包括“<eos>”和之后的部分）， 我们获得最终候选输出序列集合。 然后我们选择其中条件概率乘积最高的序列作为输出序列：

$\frac{1}{L^\alpha} \log P(y_1, \ldots, y_{L}\mid \mathbf{c}) = \frac{1}{L^\alpha} \sum_{t'=1}^L \log P(y_{t'} \mid y_1, \ldots, y_{t'-1}, \mathbf{c}),\space\space\space\text{9.8.4}$

其中$L$是最终候选序列的长度， $\alpha$通常设置为$0.75$。 因为一个较长的序列在公式 (9.8.4) 的求和中会有更多的对数项， 因此分母中的$L^\alpha$用于惩罚长序列。

束搜索的计算量为$\mathcal{O}(k\left|\mathcal{Y}\right|T')$， 这个结果介于贪心搜索和穷举搜索之间。 实际上，贪心搜索可以看作一种束宽为$1$的特殊类型的束搜索。 通过灵活地选择束宽，束搜索可以在正确率和计算代价之间进行权衡。

小结

• 序列搜索策略包括贪心搜索、穷举搜索和束搜索。
• 贪心搜索所选取序列的计算量最小，但精度相对较低。
• 穷举搜索所选取序列的精度最高，但计算量最大。
• 束搜索通过灵活选择束宽，在正确率和计算代价之间进行权衡。

练习

1. 我们可以把穷举搜索看作一种特殊的束搜索吗？为什么？
2. 在《序列到序列学习(seq2seq)》的机器翻译问题中应用束搜索。 束宽是如何影响预测的速度和结果的？
3. 在《循环神经网络从零开始实现》中，我们基于用户提供的前缀， 通过使用语言模型来生成文本。这个例子中使用了哪种搜索策略？可以改进吗？