datetime:2022-04-09 17:46
author:nzb
数据结构与算法
绪论
基本概念
数据
数据元素、数据项
数据对象、数据结构
数据类型、抽象数据类型（ADT）
数据结构三要素
逻辑结构
集合
线性结构
树形结构
图状结构（网状结构）
物理结构（存储结构）
顺序存储
物理内存中是连续的非顺序存储
物理内存中是分散的链式存储
索引存储
散列存储
数据的运算
学习建议
- 概念多，比较无聊。抓大放小，重要的是形成框架，不必纠结细节概念。
链表和数组的区别
数组静态分配内存，链表动态分配内存；
数组在内存中连续，链表不连续是分散的；
数组元素在栈区，链表元素在堆区；
数组利用下标定位，时间复杂度为O(1)，链表定位元素时间复杂度O(n)；
链表也没有下标的概念，只能通过头节点指针，从每一个节点，依次往下找，因为下个节点的位置信息只能通过上个节点知晓。数组插入或删除元素的时间复杂度O(n)，链表的时间复杂度O(1)。
链表只需要知道操作位置的指针
树与二叉树
定义
树（Tree）是 n（n>=0)个结点的有限集。n=0 时称为空树。在任意一颗非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
2）当 n>1 时，其余结点可分为 m(m>0) 个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
此外，树的定义还需要强调以下两点：
1）n>0 时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
2）m>0 时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
示例树：
结点的度
一个结点拥有的子树数目称为结点的度。叶子节点的度为 0 。
叶子节点：没有子节点的节点所有节点中的最大的度称为树的 度，树中的节点树即为树中所有节点的度之和加一：即：树中的节点树 = 树中所有节点的度之和 + 1
结点关系
结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
上图中，A 为 B 的双亲结点，B 为 A 的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
上图中，结点 B 与结点 C 互为兄弟结点。
结点层次和树的深度
从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。
树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。上图所示树的深度为4。
二叉树
定义
二叉树是 n(n>=0) 个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
二叉树特点
1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
4）非空二叉树只有一个根节点。
二叉树性质
1）在二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个节点 。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为 k ,那么最多有 2^k-1个节点。(k>=1）
3）n0 = n2 + 1： 度为0的节点（叶子节点）总是比度为 2 的节点多一个。
n0 表示度数为 0 的节点数，n2 表示度数为2的节点数。4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
具有 n 个节点的二叉树的深度至少为 [log2n]+1，其中 [log2n] 是向下取整。5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左子树， 否则，编号为 2i 的结点为其左子树结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右子树， 否则，编号为 2i+1 的结点为其右子树结点。
斜树
斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
满二叉树
满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
1）第 k 层上有 2 ^ (k - 1) 个节点。
2）深度为 m 的满二叉树有 2 ^m - 1个节点
3）非叶子结点的度一定是2。
完全二叉树
完全二叉树：对一颗具有 n 个结点的二叉树按层编号，如果编号为 i(1<=i<=n) 的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
除最后一层外，每一层的节点数都达到了最大值，在最后一层上只缺少右边的若干个节点。
满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。
二叉树的存储结构
顺序存储
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。
二叉树为完全二叉树
一棵完全二叉树采用顺序存储方式，当二叉树为完全二叉树时，结点数刚好填满数组。
二叉树不为完全二叉树
其中浅色结点表示结点不存在，其中，∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现，顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。
右斜树
对于这种右斜树极端情况，采用顺序存储的方式是十分浪费空间的。
因此，顺序存储一般适用于完全二叉树。
二叉链表
链式存储：由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个子节点。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。
采用一种链表结构存储二叉树，这种链表称为二叉链表。
二叉树遍历
二叉树的遍历一个重点考查的知识点。定义
二叉树的遍历：是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。
二叉树的访问次序可以分为四种
前序遍历
中序遍历
后序遍历
层序遍历
前序遍历
根 - 左 - 右前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
上图所示二叉树的前序遍历输出为：ABDHIEJCFG
中序遍历
左 - 根 - 右中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
上图所示二叉树的前序遍历输出为：HDIBJEAFCG
后序遍历
左 - 右 - 根后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
上图所示二叉树的前序遍历输出为：HIDJEBFGCA
层次遍历
- 层次遍历就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。针对上图所示二叉树的层次遍历结果为：ABCDEFGHIJ
遍历常考考点
1）已知前序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。
例题：若一棵二叉树的前序遍历为ABCDEF，中序遍历为CBAEDF，请画出这棵二叉树。
分析：前序遍历第一个输出结点为根结点，故A为根结点。早中序遍历中根结点处于左右子树结点中间，故结点A的左子树中结点有CB，右子树中结点有EDF。
按照同样的分析方法，对A的左右子树进行划分，最后得出二叉树的形态如下图所示
2）已知后序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。
- 后序遍历中最后访问的为根结点，因此可以按照上述同样的方法，找到根结点后分成两棵子树，进而继续找到子树的根结点，一步步确定二叉树的形态。
注：已知前序遍历序列和后序遍历序列，不可以唯一确定一棵二叉树。
