datetime:2025/02/06 15:22

author:nzb

三维空间中的点投影到二维图像平面

在相机成像过程中，内参（Intrinsic Parameters） 的作用是将三维空间中的点投影到二维图像平面，其核心是建立相机坐标系到像素坐标系的映射关系。以下是详细步骤和公式：

一、相机内参的定义

内参矩阵（K）通常表示为： $K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• $f_x , f_y$ ：焦距（以像素为单位，可能因图像传感器非正方形像素存在差异）
• $c_x , c_y$ ：主点（图像坐标系原点的像素坐标，通常为图像中心）
• 若图像传感器为理想正方形（无畸变），则 $f_x = f_y$。

二、投影过程（3D→2D）

假设有一个三维点 $P_{\text{cam}} = [X_c, Y_c, Z_c]^T$（在相机坐标系下），投影到像素坐标 $(u, v)$ 的步骤如下：

1. 归一化坐标
   将相机坐标系下的点投影到归一化平面 （ $Z=1$ 平面）：

   $x = \frac{X_c}{Z_c}, \quad y = \frac{Y_c}{Z_c}$

2. 应用畸变校正（可选）
   若存在径向畸变或切向畸变，需对 $x$ , y 进行修正（以径向畸变为例）：

   $x_{\text{corrected}} = x \cdot (1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + k_3 r^6) \\ y_{\text{corrected}} = y \cdot (1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + k_3 r^6)$

   其中 $r^2 = x^2 + y^2，k_1, k_2, k_3$ 为畸变系数。

3. 转换为像素坐标
   通过内参矩阵将归一化坐标映射到像素坐标系：

   $u = f_x \cdot x_{\text{corrected}} + c_x \\ v = f_y \cdot y_{\text{corrected}} + c_y$

   写成矩阵形式：

   $\begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = K \cdot \begin{bmatrix} x_{\text{corrected}} \\ y_{\text{corrected}} \\ 1 \end{bmatrix}$

三、完整投影流程（含外参）

若已知三维点在世界坐标系下的坐标 $P_{\text{world}} = [X_w, Y_w, Z_w]^T$ ，需先用外参（旋转矩阵 $R$ 和平移向量 $t）$将其转换到相机坐标系：

$P_{\text{cam}} = R \cdot P_{\text{world}} + t$

再按上述步骤投影到像素坐标。

四、代码示例（Python/OpenCV）

使用OpenCV的 projectPoints 函数实现投影：

import cv2
import numpy as np

# 定义相机内参和畸变系数
K = np.array([[fx, 0, cx],
              [0, fy, cy],
              [0, 0, 1]])
dist_coeffs = np.array([k1, k2, p1, p2, k3])  # 畸变系数
# dist_coeffs = np.zeros((5, 1), dtype=np.float32)  # 无畸变假设

# 定义三维点（相机坐标系下，假设 Z_c > 0）
point_3d = np.array([[X_c, Y_c, Z_c]], dtype=np.float32)

# 投影到像素坐标（若需要畸变校正）
point_2d, _ = cv2.projectPoints(point_3d, 
                                np.zeros(3),  # 外参旋转（假设无旋转） np.eye(3, dtype=np.float32)
                                np.zeros(3),  # 外参平移（假设无平移） np.zeros((3, 1), dtype=np.float32) 
                                K, 
                                dist_coeffs)
u, v = point_2d[0][0]
print(f"像素坐标：({u:.1f}, {v:.1f})")

# 无畸变，直接用内参矩阵算
K = np.array([[fx, 0, cx],
              [0, fy, cy],
              [0, 0, 1]])
x = x1 / z1 * K[0, 0] + K[0, 2]
y = y1 / z1 * K[1, 1] + K[1, 2]

五、注意事项

1. 深度信息（Z_c）：投影时需确保 $Z_c \neq 0$，否则无法归一化。
2. 畸变校正顺序：先校正畸变，再应用内参矩阵。
3. 外参与内参分离：外参描述相机姿态，内参描述相机固有属性，两者需分开标定。

总结：相机内参通过焦距和主点将归一化的三维点映射到像素坐标，结合外参可实现从世界坐标到像素坐标的完整投影。实际应用中需考虑畸变校正以提高精度。