datetime:2023/09/19 14:11

author:nzb

该项目来源于大佬的动手学ROS2

1.矩阵与矩阵运算

本节我们来学习一下线性代数的基础中的矩阵部分，矩阵作为我们学习机器人学中最常用的基础知识，后面学习过程中我们会经常遇到，比如：表示旋转的旋转矩阵、坐标变换中的齐次矩阵、关节速度映射雅可比矩阵、仿真中的惯性矩阵等等。所以很有必要在正式学习之前，了解一下矩阵的概念及常用的矩阵定义。

1.矩阵介绍

1.1 矩阵定义

由 $m*n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,..,m;j=1,2...,n)$ 排成的m行n列的矩阵表格

$\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\ \end{bmatrix}$

称为一个$m*n$的矩阵,记为为$A$或$(a_{ij})_{m*n}(i=1,2,..,m;j=1,2...,n)$ ，当 $m=n$ 时称 $A$为$n$ 阶方阵.

矩阵就是一堆可能存在着某种联系数的组合，编号规则也很简单，第一行第一列的数编号为 $a_{11}$ ,第二行第一列叫做 $a_{21}$ ，以此类推

如果两个矩阵都是m*n个数组成，则称两个矩阵为同型矩阵。

1.2 零矩阵

所谓零矩阵，就是矩阵中每个数都是 $0$ ,比如一个 $3*3$ 的 $0$ 矩阵（零矩阵常用 $O$ 来表示）

$O_{3*3}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\\end{bmatrix}$

零矩阵是不是和自然数零一样神奇呢？

根据矩阵的运算法则，零矩阵有以下性质，下一节我们会来动手验证。

• 任何矩阵（前提符合运算法则）与零矩阵相加、减结果都是其本身 $A-O=A \\ \\ A+O=A$

• 零矩阵与任何矩阵的相乘结果都是零矩阵（注意，矩阵型号可能会变）

1.3 单位矩阵

主对角线上的元素都为 $1$ ，其余元素全为 $0$ 的 $n$ 阶矩阵称为 $n$ 阶单位矩阵,常用符号 $I$ 表示，如 $I3$ $I_{3} =\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\\end{bmatrix}$

单位矩阵的性质与自然数1相似

根据矩阵的运算法则，单位矩阵有以下性质：

任何矩阵与单位矩阵的乘积结果为其本身

$AI_n = A\\\\ I_nB = B$

2.矩阵的运算

2.1加减法运算

两个矩阵相加减，即其对应元素相加减。

设矩阵 $A=\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\ \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} {b_{11}}&{b_ {12}}&{\cdots}&{b_{1n}}\\ {b_{21}}&{b_{22}}&{\cdots}&{b_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {b_{m1}}&{b_ {m2}}&{\cdots}&{b_{mn}}\\ \end{bmatrix}$ 有

$A\pm\;B=\begin{bmatrix} {a_{11}\pm\;b_{11}}&{a_{12}\pm\;b_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}\pm\;b_{1n}}\\ {a_{21}\pm\;b_ {21}}&{a_{22}\pm\;b_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}\pm\;b_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}\pm\;b_{m1}}&{a_ {m2}\pm\;b_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}\pm\;b_{mn}}\\ \end{bmatrix}$

只有两个矩阵为同型矩阵时才能进行加减运算。

运算性质

• 交换律： $A+B=B+A$

• 结合律： $(A+B)+C=A+(B+C)$

• 乘法结合律： $(AB)C=A(BC)$

栗子：

$$A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\\end{bmatrix}$$

$A+B= B+A =\begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{2}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{2}\\\end{bmatrix}$

2.2乘法运算

乘法运算分为两种，一种是标量乘法，一种是矩阵乘法。

2.2.1 标量乘法

标量乘法即一个矩阵和一个数相乘。运算法则：将矩阵的每一个元素都乘上这个数即可

栗子： $A = \begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\\\end{bmatrix}\\ $ $2\times A= 2\times \begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{2 \times 1}&{2 \times 2}\\{2 \times 3}&{2 \times 4}\\\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}{2}&{4}\\{6}&{8}\\\end{bmatrix}$

2.2.2 矩阵运算

运算法则

设矩阵 $A\times B = C = (c_{ij})_{m*n}$ ，则 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $c_{ij}$ 的值等于矩阵A的第 $i$ 行元素和矩阵B的第 $j$ 列元素两两乘积之和。

栗子：

设： $A = \begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\\\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{3}\\\end{bmatrix} \\ $

则 $A \times B = C = \begin{bmatrix}{c_{11}}&{c_{12}}\\{c_{21}}&{c_{22}}\\\end{bmatrix}$

$c_{11} =1*1+2*0 = 1$

$c_{12} =1*0+2*3 = 6$

$c_{21} = 3*1+4*0 = 3$

$c_{22} = 3+0 + 4*3 = 12$

$C = \begin{bmatrix}{1}&{6}\\{3}&{12}\\\end{bmatrix}$

乘积之和其实就是点乘运算，比如栗子： $a = [1,2,3],b = [0,1,2]\\ a\cdot b =1*0+2*1+3*2 = 8$

矩阵的乘法的意义是非常有意思的，这里放一个链接，欢迎大家阅读： 矩阵乘法的本质是什么？

运算性质

尝试计算下上面栗子中的 $B\times A$ 的值，得到的结果依然是上面栗子中的 $C$ 吗?

答案：并不是，一般情况下，矩阵的乘法并不满足交换律

矩阵的运算规律：

• 结合律 $(A\times B)\times C = A \times(B\times C)$

• 分配律 $A\times(B+C) = A\times B + A\times C$

2.3转置运算

转置运算定义非常简单，将矩阵的对应行列元素互换(右上角加 ${T}$ 表示）

$C = \begin{bmatrix}{c_{11}}&{c_{12}}\\{c_{21}}&{c_{22}}\\\end{bmatrix} ,C^{T} = \begin{bmatrix}{c_{11}}&{c_{21}}\\{c_ {12}}&{c_{22}}\\\end{bmatrix} \\ $

栗子：

$A = \begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\\\end{bmatrix},A^T = \begin{bmatrix}{1}&{3}\\{2}&{4}\\\end{bmatrix}$

运算规律

$(A^T)^T = A$

$(A+B)^T = A^T + B^T$

$(AB)^T = B^TA^T$

3.重要定义

3.1 矩阵的逆

3.1.1 定义

$A,B$ 是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，若 $AB=BA=E$ ,则称 $A$ 是可逆矩阵，并称B是A的逆，且逆矩阵是唯一的，记作 $A^{-1}$

这个我们本节课就不举栗子了，下节课我们使用代码来直接求。

注意：不一定所有的矩阵都是可逆的

3.1.2 运算规律

$(A^{-1})^{-1} = A$

$AB$ 可逆，

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$