5.齐次坐标变换

前面几节中，学习了使用TF进行坐标的变换，也带你通过旋转和平移求解了坐标的变换关系，但计算的过程中旋转和平移是分开计算的，那有没有一种方法，可以让旋转矩阵和平移向量合并到同一个矩阵里呢？

答案是有的，我们可以将 $3*3$ 的旋转矩阵和 $3*1$ 的平移矩阵进行组合，并添加一行(0,0,0,1)使其变成一个 $4*4$ 的方阵，其组合方式如下：

有旋转矩阵

$R = \begin{bmatrix}{r_{11}}&{r_{12}}&{r_{13}}\\{r_{21}}&{r_{22}}&{r_{23}}\\{r_{31}}&{r_{32}}&{r_{33}}\\\end{bmatrix} \tag{旋转矩阵}$

平移矩阵

$P= \begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\\end{bmatrix} \tag{平移矩阵}$

合并成齐次变换矩阵

$T = \begin{bmatrix}{r_{11}}&{r_{12}}&{r_{13}}&{x} \\{r_{21}}&{r_{22}}&{r_{23}}&{y} \\{r_{31}}&{r_{32}}&{r_{33}}&{z} \\0&0&0&1 \\\end{bmatrix} \tag{齐次矩阵}$

为什么要这样写，我们可以简单的推导一下，矩阵是支持分块运算的，我们将上面的矩阵进行分块

$T = \begin{bmatrix}{R}&{P} \\0&1\\\end{bmatrix} \tag{齐次矩阵}$

假设 $^A_BT$ 表示B坐标系到A坐标系的齐次变换，B坐标系下的点C坐标为 $^B_CP$ ，求C在A坐标系下的坐标 $^A_CP$

我们将 $^A_BT$ 乘 $^B_CP$ 上，可得

$^A_CP= \begin{bmatrix}{^A_BR}&{^A_BP}\\0&1\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{^B_CP}\\1\\\end{bmatrix} = {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP$

根据前面学习的平移+旋转复合坐标变换公式，正确的结果如下

$^A_CP = {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP$

你会发现，两者最终结果完全相同，也就是说，我们的平移加旋转复合变换，可以直接用齐次变换矩阵代替。

1.齐次变换矩阵特性

接着我们来探索一下齐次变换矩阵的一些特性

2.1.齐次变换矩阵的符号表示

一般使用H或者T来表示齐次变换矩阵，矩阵的左上角标明参考坐标系，矩阵左下角标明目标坐标系，比如 $^A_BT$ 表示B坐标系到A坐标系的变换关系(平移+旋转)

2.2.齐次变换矩阵的逆的几何含义

就像矩阵的逆一样，齐次变换矩阵也有逆，其逆也有对应的几何含义，比如

比如 $^A_BT$ 表示B坐标系到A坐标系的变换关系

那么

$^A_BT$ 的逆 $^A_BT^{-1}=^B_AT$ 表示A坐标系到B坐标系的变换关系

2.3.齐次变换矩阵的乘法的几何含义

3.3.1齐次矩阵与平移向量相乘

齐次矩阵与平移向量相乘，即可求出某个向量在另一坐标系下的表示，上面例子中即是如此。

3.3.2齐次矩阵与齐次矩阵相乘

齐次矩阵与齐次矩阵相乘，可以转换不同坐标系之间的关系，比如：

$^A_BT^B_CT=^A_CT$

比如当我们有一个六自由度的机械臂，知道两两相邻关节之间的关系，那么就可以通过其次矩阵相乘的方法求出，关节6在关节0下的位置和姿态：

$^0_1T^1_2T^2_3T^3_4T^4_5T^5_6T=^0_6T$

齐次坐标变换

datetime:2023/09/25 10:22

author:nzb